【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第6章-鞅过程及其性质

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第6章-鞅过程及其性质-《随机过程》方兆本

6.1 条件期望及其性质定义6.1 条件期望

6.2 鞅过程定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列

6.3 鞅和鞅差的性质6.3.1 鞅的性质6.3.2 鞅差的性质

6.4 下(上)鞅及其初等性质6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程6.6 停时

Martingale 鞅

6.1 条件期望及其性质

定义6.1 条件期望

给定随机向量 (

Y

1

,

⋯

,

Y

n

Y_1, \cdots, Y_n

Y1​,⋯,Yn​) = (

y

1

,

⋯

,

y

n

y_1, \cdots, y_n

y1​,⋯,yn​) 下随机变量

X

X

X 的条件期望为

E

(

X

∣

Y

1

,

⋯

,

Y

n

)

=

∫

s

f

(

x

∣

y

1

,

⋯

,

y

n

)

(6.1)

E(X| Y_1, \cdots, Y_n) = \int sf(x| y_1, \cdots, y_n) \tag{6.1}

E(X∣Y1​,⋯,Yn​)=∫sf(x∣y1​,⋯,yn​)(6.1)

此值与 (

y

1

,

⋯

,

y

n

y_1, \cdots, y_n

y1​,⋯,yn​) 有关，由于 (

Y

1

,

⋯

,

Y

n

Y_1, \cdots, Y_n

Y1​,⋯,Yn​) 是随机向量，所以如果没有指定它们的取值，（6.1）式是随机向量 (

Y

1

,

⋯

,

Y

n

Y_1, \cdots, Y_n

Y1​,⋯,Yn​) 的函数，常记为

E

(

X

∣

Y

1

,

⋯

,

Y

n

)

=

g

(

Y

1

,

⋯

,

Y

n

)

(6.2)

E(X|Y_1, \cdots, Y_n) = g(Y_1, \cdots, Y_n) \tag{6.2}

E(X∣Y1​,⋯,Yn​)=g(Y1​,⋯,Yn​)(6.2)

6.2 鞅过程

定义6.2 鞅序列 / 鞅差序列

若随机过程

{

M

n

,

n

=

0

,

1

,

⋯

}

\{ M_n, n=0,1,\cdots \}

{Mn​,n=0,1,⋯} 满足如下两个条件： （i）

E

∣

M

n

∣

<

∞

E|M_n| < \infty

E∣Mn​∣<∞； （ii）

E

(

M

n

+

1

∣

M

0

,

M

1

,

⋯

,

M

n

)

=

M

n

−

1

E(M_{n+1} | M_0, M_1, \cdots, M_n) = M_{n-1}

E(Mn+1​∣M0​,M1​,⋯,Mn​)=Mn−1​； 则称

M

n

M_n

Mn​ 为鞅序列，简称为鞅（鞅列），称

{

Z

n

=

M

n

−

M

n

−

1

,

n

=

1

,

⋯

}

\{Z_n = M_n - M_{n-1}, n=1,\cdots \}

{Zn​=Mn​−Mn−1​,n=1,⋯} 为鞅差（鞅差序列）。

6.3 鞅和鞅差的性质

6.3.1 鞅的性质

6.3.2 鞅差的性质

6.4 下(上)鞅及其初等性质

6.5 连续时间下的鞅过程和下鞅过程

6.6 停时