随机过程复习（五）鞅

1. 基本概念

对，如果

（1），

（2）

则称过程是鞅。

在某些情况下，不能直接观察，而只能观察另一过程，因此将鞅的定义推广如下：

设有两个过程和，如果

（1）

（2）

则称关于是鞅。

假设关于是鞅，则有如下结论：

（1）。

（2），这说明鞅在任何时刻的期望均相等。

（3）。

（4）如果，关于是鞅，则关于是鞅。

（5）如果关于是鞅，是关于的有界函数，则：

2. 上（下）鞅及分解定理

和是随机过程，如果满足下列条件：

（1）

（2）

（3）是的函数

则称关于是一个上鞅。

和是随机过程，如果满足下列条件：

（1）

（2）

（3）是的函数

则称关于是一个下鞅。

鞅分解定理

对于任意一个关于的下鞅，必存在过程和，使得：

（1）关于是鞅；

（2）是的函数，且

（3）

且上述分解是唯一的。

由上述定理可知，一个下鞅总可分解为一个鞅和一个增过程之和。

对于任意一个关于的上鞅，必存在过程和，使得：

（1）关于是鞅；

（2）是的函数，且

（3）

且上述分解是唯一的。

3. 停时和停时定理

设取值为非负整数（包括+∞）的随机变量T，即随机序列 ，若对，事件{T=n}的示性函数仅是的函数，则称T是关于的停时。

若T是关于的停时，那么，定义

则，称为停止过程。可以证明

由定义可知，T是一个取值非负整数的随机变量，可以用以描述过程的终止时间。

4. 鞅收敛定理