三角形已知边长求高公式_数学 | 已知三角形三条边长求某一条边对应的高

在数学中求解几何题时，我们经常会碰到这样的题目：

已知三角形的三条边长，求解某一条边对应的高。

如下图，已知三角形ABC，三条边长分别为a，b，c，求边长a对应的高h。

这个题目有几种解法呢？

我们来探讨下。

解法1：

余弦定理

由三边长求得 ， ，得到面积 ，由 求得 。

缺点：步骤繁琐，计算复杂。

解法2：

余弦定理

由三边长求得 ， ，由 求得 。

缺点：步骤繁琐，计算复杂。

解法3：

海伦公式

，其中 ，由 求得 。

缺点：此方法计算看似简单。但在实操过程中，当边长为无理数时，例如三边长分别为 ， ，3时，

把 带入海伦公式将带来庞大的计算量。

这也是海伦公式为什么在高中数学必修5中只是作为阅读与思考内容出现的原因。

解法4：秦九韶公式

这个解法是我们从解法1和2中推导而来的一个公式，其实也是秦九韶面积公式的推导过程。如果能熟练使用这个公式，既可以省掉解法1和解法2繁杂的步骤，又可以避免因为无理数运算在海伦公式中产生的庞大运算量。

推导过程：

稍作整理：

解读：我们很容易发现带根号的这一部分和秦九韶公式很类似(其实推导得到的面积公式就是秦九韶公式)。此公式在形式上也很规整，被减数是任意相邻两边长乘积的平方，减数平方中的分子部分是前一项对应的相邻两边长的平方和减去第三边的平方。

如果求a边对应的高，用带根号这部分算出来的数除以a。同理，b边对应的高直接除以b即可，c边对应的高直接除以c即可。

“求三角形对应边长的高”还在高中数学立体几何中求解二面角时经常用到，而求高的问题在这些题目中只是一个小步骤，如果能快速得到三角形的高，解题将会更加轻而易举。